Kalman 定理与向量自回归模型的最小状态空间实现

我们引入一个 $自回归$（AR）状态空间实现的概念，可应用于所有满足 $\boldsymbol{T}(0)$ 可逆的传递函数 $\boldsymbol{T}(L)$。我们证明 Kalman 的一个定理意味着每个向量自回归模型（含外生变量）具有形式为 $\boldsymbol{y}_t = \sum_{i=1}^p\boldsymbol{H}\boldsymbol{F}^{i-1}\boldsymbol{G}\boldsymbol{x}_{t-i}+\boldsymbol{\epsilon}_t$ 的最小 $AR$-状态空间实现，其中 $\boldsymbol{F}$ 是一个幂零 Jordan 矩阵，且 $\boldsymbol{H}, \boldsymbol{G}$ 满足特定秩条件。$VARX(1)$ 情形对应于降秩回归。类似于该情形，对固定的 Jordan 形式 $\boldsymbol{F}$，$\boldsymbol{H}$ 可作为 $\boldsymbol{G}$ 的函数通过最小二乘估计。似然函数是一个推广 Rayleigh 商的决定比。若 $\boldsymbol{G}$ 被与 $\boldsymbol{F}$ 可交换的可逆矩阵 $\boldsymbol{S}$ 替换为 $\boldsymbol{S}\boldsymbol{G}$，该似然函数不变。利用此不变性，最大似然估计的搜索空间可约束为满足若干正交关系的矩阵等价类，推广了降秩分析中的结果。我们的结果可视为多重滞后典型相关分析。此处考虑的方法为 Velu 等人的多项式乘积回归模型的一般情形提供了求解。我们给出了估计示例。我们还探讨了估计如何随不同 Jordan 矩阵配置而变化，并讨论了选择配置的方法。我们的方法可提供一种重要的降维技术，在时间序列分析与线性系统辨识中具有潜在应用。在附录中，我们将 $\boldsymbol{G}$ 的降维配置空间与称为向量丛的几何对象相联系。