基于经验特征泛函的 Hilbert 空间高斯性检验

设 $X_1,X_2, \ldots$ 为取值于可分 Hilbert 空间 $\mathbb{H}$ 的独立同分布随机元。考虑到函数型数据的应用，$\mathbb{H}$ 可视为定义在紧区间上的平方可积函数空间。我们提出并研究了一种针对原假设 $H_0$（即 $X_1$ 具有某个未指定的非退化高斯分布）的新检验。检验统计量 $T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)$ 基于 $X_1,\ldots,X_n$ 的经验特征泛函与 $\mathbb{H}$ 中某个合适高斯随机元的特征泛函之间的偏差度量。我们推导了在 $H_0$ 下当 $n \to \infty$ 时 $T_n$ 的渐近分布，并给出了其一致的 bootstrap 逼近。此外，我们得到了 $T_n$ 的几乎必然极限，以及在非高斯备择假设下 $T_n$ 的正态极限分布。仿真表明，新检验相对于迄今少数可用竞争方法具有竞争力。