一种用于自由材料设计的次梯度方法
最优化与控制
2016-07-05 v1
摘要
材料结构的微小改进可以为制造商节省大量成本。自由材料设计可以表述为一个优化问题。然而，由于其规模庞大，二阶方法无法在合理规模下求解自由材料设计问题。我们将自由材料优化（FMO）问题表述为一种鞍点形式，其中消除了约束中刚度矩阵A(E)的逆。A(E)的规模通常很大，记为N×N。这是首个不含A(E)的FMO表述。我们应用原始-对偶次梯度方法[17]来求解受限鞍点公式。这是首个用于FMO的梯度型方法。与包含A(E)逆的表述相比，后者需要O(N³)算术运算和O(N²)大小的辅助向量存储，我们算法的每次迭代总共需要O(N²)浮点运算和O(N)大小的辅助向量存储。为求解该问题，我们开发了一个半定最小二乘问题的闭式解以及一个用于梯度方法的高效参数更新方案，这些内容包含在附录中。我们还近似求解了有界拉格朗日对偶问题。该问题被分解为多个小问题，每个小问题仅含一个k×k（k=3或6）的未知矩阵，并且可以并行求解。我们算法的迭代界对于一般次梯度方案是最优的。最后，我们展示了有前景的数值结果。
引用
@article{arxiv.1607.00549,
title = {A Subgradient Method for Free Material Design},
author = {Michal Kocvara and Yurii Nesterov and Yu Xia},
journal= {arXiv preprint arXiv:1607.00549},
year = {2016}
}
备注
SIAM Journal on Optimization (accepted)