利用变分方法研究开普勒盘中扰动的瞬态动力学

我们采用基于优化问题变分表述的方法，研究了薄开普勒盘中的线性瞬态动力学。研究表明，在剪切片近似下，由于涡旋对密度波的显著激发，增长最快的剪切谐波的方位角波长 $\lambda_y$ 与盘厚度 $H$ 同量级，且其初始形状总是与具有相同位势涡度的涡旋几乎完全相同。此外，在 $\lambda_y\gg H$ 极限下，最优增长 $G\propto (\Omega/\kappa)^4$，其中 $\Omega$ 和 $\kappa$ 分别代表局部旋转频率和本轮频率，这表明大尺度涡旋的瞬态增长在非开普勒旋转区域（例如黑洞周围相对论性盘的内区）可能强得多。我们估计，如果盘已处于湍流状态且有效粘度由 Shakura 参数 $\alpha<1$ 给出，则波长满足 $H/\alpha>\lambda_y>H$ 的所述大尺度涡旋在被阻尼之前具有最有利的瞬态放大条件。同时，湍流是这种瞬态活动的位势涡度的自然来源。我们将研究扩展至全局空间尺度，表明方位角波长远大于盘厚度（超过一个数量级）的全局扰动，仍能在盘的内边界处于几个开普勒周期内实现数十倍的增长。