相对 Frobenius 范数下可列表解码协方差估计的谱算法

我们研究可列表解码高斯协方差估计问题。给定一个包含 $T$ 中 $n$ 个点的多重集，其中 $T$ 中未知比例 $\alpha<1/2$ 的点是来自未知高斯 $\mathcal{N}(\mu, \Sigma)$ 的独立同分布样本，目标是输出一个包含 $O(1/\alpha)$ 个假设的列表，其中至少一个在相对 Frobenius 范数下接近 $\Sigma$。我们的主要结果是一个针对该任务的 $\mathrm{poly}(d,1/\alpha)$ 样本与时间算法，其保证相对 Frobenius 范数误差为 $\mathrm{poly}(1/\alpha)$。重要的是，我们的算法纯粹依赖于谱技术。作为推论，我们获得了用于高斯混合模型（GMMs）鲁棒部分聚类的有效谱算法——这是 [BDJ+22] 近期关于鲁棒学习任意 GMMs 工作的关键组成部分。结合 [BDJ+22] 的其他组件，我们的新方法产生了首个无平方和（Sum-of-Squares-free）的鲁棒学习 GMMs 算法。在技术层面，我们开发了一种用于可列表解码协方差估计的新型多重滤波方法，该方法在其他设定中可能有用。