对偶装箱问题的一个简单 PTAS 及其在线版本的建议复杂性

最近，Renault (2016) 在在线算法的逐请求建议模型中研究了对偶装箱问题。他证明了为每个输入项提供 $O(1/\epsilon)$ 个建议比特，可以在线地将对偶装箱问题近似到 $1+\epsilon$ 因子以内。Renault 询问了对偶装箱问题在在线算法的磁带建议模型中的建议复杂性。我们在此问题上取得了进展。设 $s$ 为输入项权重的最大比特大小。我们提出了一个概念上简单的在线算法，其总建议量为 $O\left(\frac{s + \log n}{\epsilon^2}\right)$，可将对偶装箱问题近似到 $1+\epsilon$ 因子以内。为此，我们描述并分析了一个简单的离线 PTAS 用于对偶装箱问题。尽管在我们工作之前已知一个更一般问题的 PTAS（Kellerer 1999, Chekuri 和 Khanna 2006），我们的 PTAS 可以说在陈述和分析上更简单。因此，我们能够轻松地调整我们的 PTAS 以获得建议复杂性的结果。我们还考虑了算法中对 $s$ 的依赖是否必要。我们证明，如果 $s$ 不受限制，那么对于足够小的 $\epsilon > 0$，获得对偶装箱问题的 $1+\epsilon$ 近似需要 $\Omega_\epsilon(n)$ 比特的建议。为建立此下界，我们分析了一个在线归约，它保留了来自 Boyar 等人 (2016) 的二分问题的建议复杂性和近似比。我们定义了两个自然的建议复杂性类，它们捕捉了类似于图灵机世界中伪多项式时间算法与多项式时间算法之间的区别。我们在对偶装箱问题上的结果暗示了建议复杂性世界中这两个类的分离。