一种用于平衡图割的简单逆幂方法

现有的用于求解平衡图割的逆幂（$\mathbf{IP}$）方法缺乏局部收敛性，且其内部子问题需要非光滑凸求解器。为解决这些问题，我们利用平衡图割的一种新颖等价连续形式，开发了一种简单逆幂（$\mathbf{SIP}$）方法，其内部子问题允许显式解析解，这是相对于 $\mathbf{IP}$ 的最大优势，也是我们称其为 $\mathit{simple}$ 的主要原因。通过充分利用内部子问题解的闭式形式，我们设计了一种边界检测次梯度选择，借助它证明了 $\mathbf{SIP}$ 是局部收敛的。我们表明，$\mathbf{SIP}$ 也适用于一种新的三值 $\theta$-平衡割，当 $\theta=1$ 时它退化为平衡割。当 $\mathbf{SIP}$ 达到其局部最优时，我们在完全相同的迭代算法框架内无缝转移以求解 $\theta$-平衡割，从而获得 $\mathbf{SIP}$-$\mathbf{perturb}$——$\mathbf{SIP}$ 的一种高效局部突破改进，它通过可调节的 $\theta$ 将一些“已划分”的顶点转换回“未划分”的顶点。在 G-set 上针对 Cheeger 割和稀疏割的数值实验表明，$\mathbf{SIP}$ 比 $\mathbf{IP}$ 显著更快，同时保持近似解的质量相当，且 $\mathbf{SIP}$-$\mathbf{perturb}$ 在计算成本和求解质量方面均优于 $\mathtt{Gurobi}$。