面心立方光子晶体 L 带隙宽度的简单公式

面心立方空气球格点在 (111) 方向第一布拉格散射峰的宽度 $\triangle_L$ 可很好地由一简单公式近似,该公式仅涉及晶胞上体积平均的 $\epsilon$ 与 $\epsilon^2$($\epsilon$ 为介质的位置相关介电常数),以及由 Maxwell-Garnett 公式近似的长波极限有效介电常数 $\epsilon_{eff}$。显然,我们的公式精确描述了高介电对比度 $\delta$ 下绝对带隙宽度 $\triangle_L$ 的渐近行为。标准偏差 $\sigma$ 随 $\delta$ 增大稳定降至 1% 以下。例如对球填充分数 $f=0.2$ 且 $\delta\geq 20$,有 $\sigma< 0.1\%$。在区间 $\delta\in(1,100)$ 上,我们的公式仍以合理精度近似绝对带隙宽度 $\triangle_L$(相对带隙宽度 $\triangle_L^r$),即低填充分数时标准偏差 3% (4.2%),最密堆积情形达 6.5% (8%)。简要讨论了介电体中空气球与空气中介电球两种情形的差异。