面向大数据的具有有限精度误差分析的并行流式动态模态分解算法

提出了一种基于完全正交化 Arnoldi (FOA) 的新技术，用于对一系列快照执行动态模态分解 (DMD)。针对矩阵 $A$ 未知但向量集 $\{A^{i-1}v_1\}_{i=1}^{N-1}$ 已知的情况，对 FOA 进行了修改。修改后的 FOA 是所提出的投影 DMD 算法（称为基于 FOA 的 DMD）的核心。所提出的用于计算 DMD 模态和特征值的算法：i) 对于满足 $\kappa_2(X) \ll 1/\epsilon_m$ 的快照矩阵 $X$ 不需要奇异值分解 (SVD)，其中 $\kappa_2(X)$ 是快照矩阵的 2-范数条件数，$\epsilon_m$ 是相对舍入误差或机器 epsilon；ii) 对于满足 $\kappa_2(X) \approx 1/\epsilon_m$ 的快照矩阵 $X$，具有一个由舍入误差分析驱动的可选秩截断步骤；iii) 一次仅需一个快照，因此即使带有可选的秩截断步骤，它也是一种“流式”方法；iv) 与现有的投影 DMD 方法相比，消耗更少的内存并需要更少的浮点运算来获得投影矩阵；v) 易于并行化，因为其主要计算核心仅涉及向量加法、点积和矩阵向量乘积。因此，该新技术非常适合在并行计算平台上对大型数据集进行 DMD。我们从理论上和利用数值例子表明，对于无秩截断的基于 FOA 的 DMD，线性映射计算投影中的有限精度误差为 $O(\epsilon_m\kappa_2(X))$。还将所提出的方法与现有的投影 DMD 方法在计算成本、内存消耗和相对舍入误差方面进行了比较。提出了有助于决定何时停止获取新快照的误差指标。所提出的方法应用于流体流动数值模拟的几个示例。