关于 OGAProx 收敛性的一份注记

在本注记中，我们考虑由 Bo{\c{t}}、Csetnek 和 Sedlmayer 提出的乐观梯度上升-邻近点算法（OGAProx），用于求解由非光滑耦合函数与一个正则化函数构成的凸凹函数所关联的鞍点问题。我们首先给出一个反例，表明在遍历序列上计算的极大极小间隙函数的收敛性不足以证明在遍历序列上计算的函数值的收敛性。随后，在 Bo{\c{t}} 等人用于证明极大极小间隙函数收敛性的相同假设下，我们给出了由 OGAProx 生成的遍历序列上计算的函数值的收敛结果，其收敛速率分别为 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{k}\right)$、$\mathcal{O}\left(\frac{1}{k^{2}}\right)$ 与 $\mathcal{O}\left(\theta^{k}\right)$（其中 $\theta \in (0,1)$），分别对应所关联的凸凹耦合函数为凸-凹、凸-强凹与强凸-强凹的情形。