关于 $\aleph_{0}$-内射环的注记

如果从环 $R$ 的任意可数生成右理到 $R_{R}$ 的每个同态都可以扩张为从 $R_{R}$ 到 $R_{R}$ 的同态，则称环 $R$ 为右 $\aleph_{0}$-内射。在本注记中，给出了 $\aleph_{0}$-内射环的一些刻画。证明了如果 $R$ 是半局部环，则 $R$ 是右 $\aleph_{0}$-内射的，当且仅当从 $R$ 的任意可数生成小右理到 $R_{R}$ 的每个同态都可以扩张为从 $R_{R}$ 到 $R_{R}$ 的同态。还证明了如果 $R$ 是右 Noetherian 环且左 $\aleph_{0}$-内射，则 $R$ 是 \emph{QF} 环。这一结果可视为对 Faith-Menal 猜想的一种探讨。