关于单调性的距离放大引理

我们展示了一个程序，给定对函数 $f\colon \{0,1\}^n\to\{0,1\}$ 的查询权限，可产生对函数 $f'\colon \{0,1\}^{n'}\to\{0,1\}$ 的查询权限，使得若 $f$ 为单调函数，则 $f'$ 为单调函数；若 $f$ 距离单调函数为 $\varepsilon$，则 $f'$ 距离单调函数为 $\Omega(1)$。此外，$n' \leq n 2^{O(1/\varepsilon)}$，且每次对 $f'$ 的查询可通过 $2^{O(1/\varepsilon)}$ 次对 $f$ 的查询来实现。我们的引理灵感来自 [Chen, Chen, Cui, Pires, Stockwell, arXiv:2511.04558] 的近期结果，他们指出对于所有 $c>0$，存在 $\varepsilon_c>0$，使得区分单调函数与距离单调函数 $\varepsilon_c$ 的函数的任何（甚至双侧、自适应）算法都需要 $\Omega(n^{1/2-c})$ 次查询。将我们的引理与他们的结果结合，得到类似结果，除了距离单调性为绝对常数 $\varepsilon>0$，下界为 $\Omega(n^{1/2-o(1)})$ 次查询。