矩形域上三维椭圆边值问题的新外推级联多重网格方法

本文发展了一种新的外推级联多重网格（ECMG$_{jcg}$）方法，使得在台式计算机上数分钟内求解矩形域上超过1亿未知量的3D椭圆边值问题成为可能。首先，通过结合Richardson外推和三二次Serendipity插值技术，我们引入了一个新的外推公式，为下一更细网格上的迭代解提供良好的初始猜测，该猜测是有限元（FE）解的三阶近似。然后来自有限元离散化的大稀疏线性系统由Jacobi预条件共轭梯度（JCG）方法求解。此外，与级联多重网格（CMG）方法执行固定迭代次数不同，迭代求解器中使用了相对残差停止准则，使我们能够方便地获得所需精度的数值解。而且，使用简单的Richardson外推在整个细网格上廉价地获得四阶近似解。报告了测试结果以显示ECMG$_{jcg}$相比经典MG方法具有更好的效率。由于迭代解的初始猜测是FE解的非常好近似，数值结果显示对于具有适当相对残差容差的ECMG$_{jcg}$，在最细网格上仅需很少迭代次数即可达到全二阶精度，这在求解大型方程组时特别重要且可大大减少计算成本。应该指出当容差变小时，ECMG$_{jcg}$仍仅需要很少迭代来在每个网格上获得四阶外推解，除了最细网格。最后，我们给出了我们的ECMG算法求解此类问题如此高效的原因。