流形上粗糙路径的一种新定义

光滑流形并非试图推广流形上粗糙路径概念的合适语境。事实上，当使用光滑映射而非 Lipschitz 映射并试图求解粗糙微分方程时，会失去控制 Picard 序列收敛的定量估计。此外，即便有了光滑流形上粗糙路径的定义，常微分方程与粗糙微分方程在此情形下也只能局部求解。本文中，我们首先回顾 Lipschitz 几何的基础（该几何由 "Rough Paths on Manifolds" (Cass, T., Litterer, C. & Lyons, T.) 引入），以及涵盖 Banach 空间中经典粗糙路径理论的主要结论。随后，我们给出了一个自认为定义流形上粗糙路径的最小框架，该框架不如经典框架严格，且侧重于粗糙路径的局部行为。最后我们解释如何运用同一思想来定义流形上任意着色路径的概念。