算术级数中素数的循环性与Koblitz猜想

设$\mathbb{Q}$为有理数域。对于椭圆曲线$E/\mathbb{Q}$，循环性猜想（由Lang和Trotter提出）预测，使得约化曲线$E_p$为循环群的素数$p$的密度为$\prod_{\ell}(1-\frac{\ell}{\ell^2-1})$，其中乘积遍及所有素数$\ell$。Koblitz猜想预测，使得$E_p(\mathbb{F}_p)$为循环群的素数$p$的密度为$\prod_{\ell}(1-\frac{\ell}{\ell^3-1})$。这两个猜想目前均未获证明。然而，Zywina在2011年证明了，若假设广义黎曼猜想（GRH），则上述常数在单参数族上的平均值与这些猜想一致。此外，Banks--Shparlinski和Balog--Cojocaru--David的工作表明，这些猜想在“平均意义”上无条件成立。近来，人们对算术级数中素数的循环性猜想（AP）的兴趣日益浓厚，Akbal--G\"ulo\u{g}lu和Wong对此进行了研究。在本文中，我们改编了Zywina的方法来表述算术级数中素数的Koblitz猜想，并改进了Jones的一个定理，从而建立了循环性猜想和Koblitz猜想中常数在算术级数上的矩的结果。在此过程中，我们揭示了一个反直觉的现象：平均而言，这两个常数在同余类上呈现相反的偏差。最后，我们在随附的代码库中提供了用于计算本文所讨论常数的Magma代码。