等谱磁图的几何构造

我们给出了由给定长度 $s$（即加数个数）的自然数 $r$ 的不同分拆所标记的一族有限等谱图的几何构造。此处的等谱性是指带归一化权重（含标准权重）的离散磁拉普拉斯算子。该构造以一个任意的带归一化权重与磁势的有限图 $G$ 为构建块，第一步构造出一族所谓的框架图 $(F_a)_{a \in \mathbb{N}}$。框架图 $F_a$ 是将 $G$ 的 $a$ 个副本沿顶点子集 $V_0$ 收缩而构造的。第二步，对自然数 $r$ 的任意长度为 $s$ 的分拆 $A=(a_1,\dots,a_s)$（即 $r=a_1+\dots+a_s$），我们构造一个新图 $F_A$，将 $A$ 所选出的框架 $F_{a_1},\dots,F_{a_s}$ 沿 $V_0$ 的适当子集 $V_1\subset V_0$ 收缩。所有由 $r\geq 4$ 的不同 $s$-分拆（对任意 $V_0$ 与 $V_1$ 的选取）得到的图都是等谱且非同构的。特别地，对于给定 $r$ 与 $s$，我们得到了针对不同类型磁拉普拉斯算子（包括标准拉普拉斯算子、无符号标准拉普拉斯算子、某些带符号拉普拉斯算子，以及底层等边度量图的（无界）Kirchhoff 拉普拉斯算子）的递增有限等谱图族。这些等谱图的谱由构建块 $G$ 的拉普拉斯算子之谱以及在顶点集 $V_0$ 与 $V_1$ 上带 Dirichlet 条件的拉普拉斯算子之谱决定，其重数由分拆的数 $r$ 与 $s$ 确定。