分布式PCA的广义均值方法

主成分分析（PCA）是一种广泛使用的降维技术。随着数据集规模不断增长，分布式PCA（DPCA）已成为一个活跃的研究领域。DPCA中的一个关键挑战在于，由于计算开销，如何有效地聚合多台机器或计算节点上的结果。Fan等人（2019）引入了一种开创性的DPCA方法来估计前$r$阶特征空间，通过平均聚合局部$r$阶投影矩阵。然而，他们的方法没有利用特征值信息。在本文中，我们提出了一种新的DPCA方法，该方法通过矩阵$\beta$-均值（我们称之为$\beta$-DPCA）纳入特征值信息来聚合局部结果。矩阵$\beta$-均值通过可调节的$\beta$值选择，提供了一种灵活且稳健的聚合方法。值得注意的是，当$\beta=1$时，它对应于算术均值；当$\beta=-1$时，对应于调和均值；当$\beta \to 0$时，对应于几何均值。此外，矩阵$\beta$-均值被证明与矩阵$\beta$-散度（Bregman矩阵散度的一个子类）相关联，以支持$\beta$-DPCA的稳健性。我们还研究了$\beta$-DPCA在特征值扰动下特征向量排序的稳定性。通过数值研究评估了我们提出的方法的性能。