单量子比特测量下量子态振幅估计框架

我们提出并分析了一个简单框架，用于利用单量子比特测量来估计给定n量子比特量子态$|\psi\rangle = \sum_{i=0}^{2^n-1} a_i |i\rangle$在计算基下的振幅。此前，常见的程序是测量所有量子比特以收集测量结果，从中估计给定量子态的振幅。这里我们证明，如果限制为单量子比特测量，并且可以在任意基下进行测量，那么测量结果可以用于辅助在通常的计算基或Z基下寻找振幅。更具体地说，此类结果能够构造一个非线性代数方程组，通过经典求解，我们得到$\tilde{a}_i$，即对应振幅$a_i$的近似值，包括实部和虚部。然后我们从更广泛的角度讨论框架。首先，我们证明将所有（模的）振幅估计到加性精度$\delta$，即$||\tilde{a}_i| - |a_i|| \leq \delta$对所有$i$成立，$\mathcal{O}(4^n/\delta^4)$次单量子比特测量是足够的。其次，我们证明要实现总变差$\sum_{i=0}^{2^n-1} ||\tilde{a}_i|^2 - |a_i|^2| \leq \delta$，需要$\mathcal{O}(6^n/\delta^4)$次单比特测量。最后，为了实现平均L1范数误差$\sum_{i=0}^{2^n-1} ||\tilde{a}_i| - |a_i||/2^n \leq \delta$，需要$\mathcal{O}(2^n/\delta^4)$次单比特测量。