具有相同 $A_k$-比对的两棵二元系统发育树的完整刻画

系统发育树在重建进化关系中起着关键作用。通常，它们是通过使用诸如最大简约法 (MP) 等优化标准，从比对序列数据（如 DNA、RNA 或蛋白质）中推导出来的。人们认为后者能够重建“真实”的树，即生成数据的树，只要用该树解释数据所需的替换次数相对于树的大小（以代表所研究物种的树的叶子数 $n$ 来衡量）来说相对较少。然而，从任何比对中重建正确的树，首先要求给定的比对在“正确”的树上与其他树上的表现不同。一类特殊的比对，即所谓的 $A_k$-比对，在最近的文献中引起了相当大的兴趣。这些比对由所有在给定树上恰好需要 $k$ 次替换的二元特征组成。人们发现，只要 $k$ 足够小（相对于 $n$），$A_k$-比对就能唯一地表征生成它们的树。然而，最近的文献在 $n\leq 2k+2$（即无法进行此类表征的情况）和 $n\geq 4k$（即可以进行此类表征的情况）之间留下了显著的空白。本文的主要目标是填补这一空白，即给出共享相同 $A_k$-比对的所有树对的完整刻画。特别地，我们证明了当 $n\geq 2k+3$ 时，每个具有 $n$ 片叶子的二元系统发育树都由其 $A_k$-比对唯一确定。通过填补上述空白，我们也确保了我们的结果是最优的。