森林零空间的最优时间 $\{-1,0,1\}$- 和最稀疏基

给定一个矩阵，零空间问题要求其零空间的一个具有最少非零元的基。该问题已知是 NP-完全的，甚至难以近似。森林的零空间是其邻接矩阵的零空间。Sander 和 Sander (2005) 以及 Akbari 等人 (2006) 独立证明了每个森林的零空间都存在一个 $\{-1,0,1\}$-基。我们设计了一个算法，用于确定任意给定森林零空间的一个最稀疏基，并且该基是一个 $\{-1,0,1\}$-基。我们的算法是时间最优的，因为其运行时间最多与输入森林零空间的任何最稀疏基中的非零元数量成正比。此外，我们证明，给定一个具有 $n$ 个顶点的森林 $F$，那些存在 $F$ 零空间中在 $x$ 处非零的向量的顶点 $x$ 的集合，以及 $F$ 零空间的任何最稀疏基中的非零元数量，都可以在 $O(n)$ 时间内找到。