再生核希尔伯特空间中的极小极大鲁棒函数重构

在本文中，我们提出了一种在再生核希尔伯特空间（RKHS）中进行函数逼近的统一方法，该方法为几种众所周知的函数逼近技术（如最小范数插值、平滑样条和伪逆）确立了一个此前未被认识的最优性性质。我们考虑基于函数的近似观测值，来逼近属于 $\mathbb{R}^d$ 上任意实值 RKHS 的函数的问题。这里的观测是近似的，意指实际观测值（即真实的函数值）仅已知属于一个容许观测值的凸集。我们寻求该函数的极小极优逼近，即在真实函数属于满足观测约束的一致有界函数不确定集，且逼近属于 RKHS 的条件下，最小化真实函数与所选逼近之间误差的 RKHS 范数的上确界。我们将此类解称为极小极大鲁棒重构。我们刻画了极小极大鲁棒重构问题的解，并表明其等价于求解一个直接的凸优化问题。我们证明了极小极大鲁棒重构通常比基于标称观测集插值的逼近更稳定，并且在容许观测值凸集满足某些温和正则性条件的情况下，极小极大鲁棒重构是无条件稳定的。我们通过刻画几种特定凸观测模型的极小极大鲁棒重构来激发我们的结果，并讨论了与其他函数逼近方法的关系。