GKP多项式序列的零点

给定两个序列 $\phi=(\phi_i)_{i\ge 1}$ 和 $\psi=(\psi_i)_{i\ge 1}$ 以及数 $a,b,c$，我们通过以下递推公式引入GKP多项式序列 $(p_n)_n$：$p_0 = 1$，且对于 $n\ge 1$，$$p_{n}(x) = (ax^2+bx+c) p_{n-1}'(x) + (\phi_{n} + \psi_{n} x)p_{n-1}(x),$$ 其中我们假设 $ax^2+bx+c$ 有两个不同的实零点。正切、正割、欧拉或雅可比多项式是GKP多项式序列的例子。在本文中，在温和假设下，我们证明多项式 $p_n$ 的零点是实的、简单的，并且位于 $ax^2+bx+c$ 的零点之间。此外，$p_{n+1}$ 的零点与 $p_n$ 的零点交错。我们详细研究了 $\psi$ 为常数以及 $\phi=(\phi_i)_{i\ge 1}$ 在 $i$ 足够大时为常数的情况，证明了 $p_n$ 最左和最右零点的渐近性等结果。