新的散布线性多项式

设 $1<t<n$ 为整数，其中 $t$ 为 $n$ 的约数。R-$q^t$-部分散布多项式是指在 $\mathbb F_{q^n}[X]$ 中满足以下条件的 $\mathbb F_q$-线性多项式 $f$：对于所有 $x,y\in\mathbb F_{q^n}^*$ 且 $x/y\in\mathbb F_{q^t}$，若 $f(x)/x=f(y)/y$，则 $x/y\in\mathbb F_q$；若该蕴含对所有 $x,y\in\mathbb F_{q^n}^*$ 都成立，则称 $f$ 为散布的。若两个多项式在 $\mathbb F_{q^n}[X]$ 中的图在 $\Gamma L(2,q^n)$ 作用下的轨道中，则它们被称为等价的。对于 $n>8$，仅已知三类 $\mathbb F_{q^n}[X]$ 中的散布多项式：$(i)$ 伪规律类型单项式，$(ii)$ Lunardon-Polverino 类型二项式，以及 $(iii)$ 在 [1,10] 中定义并在 [8,13] 中扩展的一族四项式。本文证明，多项式 $\varphi_{m,q^J}=X^{q^{J(t-1)}}+X^{q^{J(2t-1)}}+m(X^{q^J}-X^{q^{J(t+1)}})\in\mathbb F_{q^{2t}}[X]$，其中 $q$ 为奇数，$t\ge3$，对每个 $m\in\mathbb F_{q^t}^*$ 且 $J$ 与 $2t$ 互为互素，都是 R-$q^t$-部分散布的。此外，对于每个 $t>4$ 且 $q>5$，存在 $m$ 的值使得 $\varphi_{m,q}$ 为散布且相对于 $(i)$、$(ii)$ 和 $(iii)$ 中的多项式是全新的。相关的线性集合至少属于 $\Gamma L$-类的两个。