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Yang-Mills-Higgs：非可缩空间上二标签的几何理论

微分几何 2026-07-01 v1
作者: Catalin Vasii
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摘要

我们将流形M上的二分类重新表述为一个Yang-Mills-Higgs变分问题。带标签的数据被编码为一个从M的基本群胚到单对象群胚B(Z_2)的函子，其在H^1(M, Z_2)中的单值类是实现分类器为符号函数的拓扑障碍。分类器截面和联络共同最小化一个满足硬数据条件的Yang-Mills-Higgs能量：物质扇区承载分类内容，而Yang-Mills扇区在每个拓扑类中由Bogomolny不等式给出下界，并选择规范背景。这恢复了伴随论文的调和插值作为可缩基、平坦联络的约化。两个结构性收益随之而来。首先，所选联络的曲率2形式与transformer注意力有一个精确的字典：它是注意力双线性形式的反对称部分，曲率的阿贝尔/非阿贝尔分裂对应于注意力的单头/多头分裂。其次，环面上的XOR问题由双Mobius丛的协变调和截面以闭式解出，最小能量2*pi^2经数值验证达到机器精度，而在相同数据上训练的MLP找到了一个忽略环面同一性的结构不同的边界。工作示例运行了一个示例阶梯（圆、环面、S^2 Dirac单极子、S^4 BPST瞬子）；在两点情形下证明了一个物质扇区邻近缩放定理。

关键词

Yang-Mills-Higgs 二分类 拓扑障碍 基本群胚 调和插值 transformer注意力 XOR问题

引用

@article{arxiv.2607.00999,
  title  = {Yang-Mills-Higgs: A Geometric Theory of Binary Labels on Non-Contractible Spaces},
  author = {Catalin Vasii},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2607.00999},
  year   = {2026}
}