隐含子群问题与高效定位未纠缠状态算法

我们研究了一种称为“隐含切割问题”的纠缠测试的泛化。该问题以输入若干拷贝作为输入的 n 比特纯态，这些态在未知的二分法下是 product态，其目标是确定该态未被纠缠的确切位置，即确定在指数级众多可能的切割中哪一个将该态分离。我们给出一个多项式时间的量子算法，可在仅需 O(n/ε²) 个态拷贝的情况下找到该切割，达到对数因子的最优。我们的算法还推广到学习任意 product 态的纠缠结构。在 Haar 随机态的特殊情况下，我们进一步表明该算法仅需常数深度的电路即可实现。为开发该算法，我们引入了一种状态层次子群问题（StateHSP）的变体，可能独具兴趣。在 StateHSP 中，给定对未知子群作用下不变的量子态，目标是学习隐藏的对称子群。我们表明隐含切割问题可表述为以精心选取的阿贝尔群作用为 StateHSP。我们随后证明，对隐含切割状态进行傅里叶抽样的结果类似于经典 Simon 问题的一个变体，从而高效地找到隐藏的切割。因此，我们的算法可解释为将 Simon 算法扩展到纠缠测试。我们讨论了 StateHSP 和隐含切割问题在密码学和伪随机性方面的可能应用。