两个格子的有界常见基本域

我们证明，对任意两个体积相同的格子 $L, M \subseteq \mathbb{R}^d$，存在一个可测且有界的公共基本域。换言之，存在一个有界可测集 $E \subseteq \mathbb{R}^d$，使得 $E$ 在平移由 $L$ 或 $M$ 产生的离散集合后能平铺 $\mathbb{R}^d$。事实上，集合 $E$ 可取为有限个 polytope 的并。由此可得，指示函数 $\mathbf{1}_E$ 在平移由 $L$ 及调制由 $M^*$（$M$ 的对偶格子）生成的离散集合后，构成 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 的 Weyl--Heisenberg（Gabor）正交基。