若干 BCH 码最小距离问题

BCH 码是循环码中的一个重要类别，在通信和数据存储系统中具有应用价值。虽然 BCH 界限提供了 BCH 码最小距离的下界，但确定 BCH 码的真实最小距离是一个极具挑战性的问题。本文解决了若干无限系列狭义 BCH 码的最小距离问题。通过显式构造最小权 codeword 的 locator 多项式，我们获得许多原始和非原始 BCH 码族，满足 $d=\delta$，其中 $d$ 为长度为 $n$ 的 $q$ 进制 BCH 码的最小距离，设计距离为 $\delta$，偏移量为 $b$，记作 $\mathbf{C}_{(q, n, \delta, b)}$。对于原始 BCH 码，我们获得在 $\mathbb{F}_3$ 和 $\mathbb{F}_4$ 上的无限系列 BCH 码，满足 $d=\delta$，其中 $\delta \in \{5,6,7,8\}$。此外，我们构造了若干长度为 $q$ 进制 BCH 码的无限系列，满足 $d=\delta$，其中 $2 \le \delta \le q-1$。对于 $\delta=q^t+1$，我们证明当 $m \equiv 0 \pmod{pt}$ 时，BCH 码 $\mathbf{C}_{(q, q^m-1, q^t+1, 1)}$ 的最小距离 $d=\delta$，其中 $p$ 为 $\mathbb{F}_q$ 的特征。值得注意的是，Ding 等人在 IEEE Trans. Inf. Theory 61(5): 2351-2356 中的猜想指出，$\mathbf{C}_{(q, q^m-1, q^t+1, 1)}$ 的最小距离始终等于其 Bose 距离 $d_B$。我们的结果在 $m \equiv 0 \pmod{pt}$ 的情形下确认了这一猜想。对于非原始 BCH 码，我们构造了一个 BCH 码族 $\mathbf{C}_{(q,\frac{q^p-1}{\lambda},p+1,1)}$，其最小距离 $d=\delta=p+1$，其中 $p$ 为奇素数，$q=p^e$ 且 $p \nmid e$，且 $\lambda \mid q-1$。