准Dedekind环中的因式分解

设 $F$ 为一个域，$p$ 为一个素数，$X$ 为 $F$ 上的一个未知数，对每个整数 $n \geq 0$ 定义 $D_n =F[X^{\frac{1}{p^n}}, X^{-\frac{1}{p^n}}]$，以及 $D = \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}_0}D_n.$ 那么 $D$ 是一个一维 Bézout 域但不是 Dedekind 域，且 $D$ 为准 Dedekind 域当且仅当 char$(F) \neq p$。本文研究了 $D$ 中元素的因式分解性质。例如，我们以 $n$ 和 $p$ 为参数确定 $D_n$ 中不可约元素是否为 $D$ 中不可约元素的条件。特别地，我们证明如果 $F$ 是代数闭域或特征为 $p$ 的有限域，则 $D$ 没有不可约元素。我们还证明如果 $F$ 是奇特征的有限域，则 $D_0$ 中不可约元素 $f(X)$ 当且仅当它是满足 certain equation（以 $|F|$ 和 deg$(f(X))$ 为参数）的某个整数 $n \geq 1$ 的 cyclotomic 多项式 $\Phi_n(X)$ 的因子时，才在 $D$ 中是不可约的。最后，我们引入无穷乘积的概念，然后我们证明如果 $F= \mathbb{Q}$ 且 $p=2$，则 $D$ 中每个非零非单位元素可写为 $D$ 中 countably many素元素的乘积，且每个 proper 非零主理想可唯一写为主 primary 理想的可数交集。