与罗米克图相关的奇异连分数

2008年，Dan Romik在本期刊上研究了原始毕达哥拉斯三元组（Primitive Pythagorean Triples, 或 PPTs）。为此，他引入了一种修改的慢速（减法）欧几里得算法，并展示了该欧几里得算法的底层动力系统（即“罗米克系统”）是ergodic的，且具有$\sigma$-有限的、无限测度，其测度被显式给出。在本文中，进一步研究了罗米克系统。确定了各种基本性质，如有理数和二次无理数的展开。此外，获得（一个版本的）罗米克系统的平面自然延拓，显式给出$\sigma$-有限的、不变测度，并证明其是ergodic的。此外，对于Lebesgue几乎每个$x$，罗米克收敛分数中约有一半是常规连分数（RCF）收敛分数。我们还展示了关于罗米克图的相关的一种“奇异”连分数可以给出。“奇异”，因为对于任何$x\in [0,1]$，该展开中可能的部分商（即数字）为$\{ 0, \pm 2\}$。本文给出了该“罗米克展开”的各种性质。