波粒二象性作为平均置信宽度的不确定关系

我们引入平均置信宽度 $\Delta_a x=\int_0^1 \Delta_c x (\theta_x) d \theta_x$：置信宽度 $\Delta_c x(\theta_x)$——承载概率分数 $\theta_x$ 的最小位置区间——在所有水平上的平均值。它是 $|\psi|^2$ 的递减重排的一阶矩，一种 $L^1$ 平均绝对偏差的局域化度量，因此乘积 $\Delta_{a} x\,\Delta_{a} p$ 具有膨胀不变性并满足 $\Delta_{a} x\,\Delta_{a} p\ge c\,\hbar$。将 $1/\Delta_{a} x$ 解读为粒子特性，将 $1/\Delta_{a} p$ 解读为波动特性，这个对组合展宽的下界等同于对组合粒子与波动特性的上界：不确定性与波粒二象性是一个不等式的两个方面。利用 Bialynicki-Birula-Mycielski 关系的平均熵论证给出了严格的 $c\ge\pi/e$，而可达到的常数 $c^\ast$ 由傅里叶不变算子 $|x|+|p|$ 的基态设定，$c^\ast\le E_0^2\approx 1.217$。因此 $\pi/e\le c^\ast\le E_0^2<4/\pi$：最优态是亚高斯的，因此高斯态——对于海森堡和熵关系是最优的——并非二象性的最优解。