来自四维奇异谐振子的Wallis乘积

我们从四维奇异谐振子出发，对Wallis乘积及其倒数进行了变分推导。平方反比相互作用被吸收到一个有效角参数$\nu$中，因此固定扇区中的最低精确能量为$E_{4d,\mathrm{exact}}=\hbar\omega(\nu+2)$。受四维谐振子与三维库仑问题之间的径向Kustaanheimo-Stiefel关系$r=\rho^2$的启发，我们使用四次试验族$R_a(\rho)=N\rho^\nu e^{-a\rho^4}$。最小化的变分能量产生一个由相邻Gamma函数控制的精度比。在大$\nu$半经典极限下，该比率趋近于1。将$\nu$限制在奇数序列$\nu=2n-1$给出标准Wallis乘积，而偶数序列$\nu=2n$给出其倒数形式。库仑对偶解释进一步将两个分支与对偶库仑/MICZ描述中的整数和半整数有效角扇区联系起来。结果表明，Wallis型无穷乘积在谐振子的平方反比变形下仍然存在，并且源于径向变分动力学中一个共同的Gamma函数结构。