含准临界指数的分数 Schrödinger 方程的多峰解的存在性、非退化性与局部唯一性

本文考察如下分数 Schrödinger 方程：\n\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lcl} (-\Delta)^{s}u+V(x)u=u^{{p_s}-\epsilon}\ \ \ &\text{in}\ \mathbb{R}^N,\ u>0\ \ \ &\text{in}\ \mathbb{R}^N, \end{array} \right. \end{equation*}其中 $0<s<1$，$\epsilon>0$，$p_s=(N+2s)/(N-2s)$，$N>4s$，且 $V(x)\in C^1(\mathbb{R}^N)\cap L^\infty (\mathbb{R}^N)$ 为非负函数。首先，我们采用 Lyapunov-Schmidt 缩减方法在 $V(x)$ 具有 $k$ 个稳定临界点时构造该方程的多峰解。随后，对于 $\frac{1}{2}<s<1$，$N\geq 6s$，我们基于各种局部 Pohozaev 身份，通过 blow-up 论证证明多峰解的非退化性与局部唯一性。由于分数 Laplacian 的非局�性质，我们需对近似解进行精细分析，并建立相应调和延拓的局部 Pohozaev 身份，而非直接对 $u$ 进行分析。该方法不仅需要发展若干积分的细致估计，还需以明显不同于常规方式应用 Pohozaev 身份。