几何数据集的几何结构 II：金字塔

基于测度集中度的可观测距离 $d_{\mathrm{conc}}$ 和基于坍缩理论的盒距离 $\Box$ 被推广到 Hanika–Schneider–Stumme 引入的几何数据集上。在几何数据集的同构类集合 $\mathcal{D}$ 上，$d_{\mathrm{conc}}$ 是不可分离的，$\Box$ 是完备且不可分离的。我们引入了 $\mathcal{D}$ 中 $\mathcal{L}$-紧几何数据集的类 $\mathcal{D}/\mathcal{L}$，其中 $\mathcal{L}$ 是 $\operatorname{Lip}_1(\mathbb{R})$ 的单子族，并证明了其 $\Box$-完备性和可分离性。然后我们通过构造 $\mathcal{L}$-金字塔，当 $\mathcal{L}$ 包含截断族时，给出 $(\mathcal{D}/\mathcal{L}, d_{\mathrm{conc}})$ 的自然紧化。我们进一步证明了 $\operatorname{Lip}_1(\mathbb{R})$-金字塔的可观测直径的完整极限公式，并表明将我们的构造应用于 Hanika–Schneider–Stumme 的嵌入与紧化相容，并保持了可观测直径的多项式时间可计算性。