分块Wishart矩阵谱的变分公式

我们分析形如 ${\boldsymbol W}_k = ({\boldsymbol X}^* \otimes {\boldsymbol I}_k){\boldsymbol T}({\boldsymbol X}\otimes{\boldsymbol I}_k)$ 的分块Wishart随机矩阵系综的渐近性质，其中 ${\boldsymbol X} \in\mathbb{C}^{n\times p}$ 具有满足适当测度集中性质的独立同分布行，${\boldsymbol T} := \textrm{\bf Diag}({\boldsymbol T}_i)_{i\in[n]}$ 为具有自伴块 ${\boldsymbol T}_i\in \mathbb{C}^{k\times k}$ 的块对角矩阵，在比例渐近 $n/p\to\alpha$ 且 $k$ 固定下。这些矩阵在高维统计的 $k$-index模型分析中起突出作用。通过研究该随机矩阵模型的矩阵Stieltjes变换及其逆（$K$-变换），我们导出了 ${\boldsymbol W}_k$ 渐近谱密度的两个泛函的变分公式：其支撑的左（等价于右）边缘，及其对数势。