一类耦合准线性椭圆系统弱解的重数问题

我们研究以下耦合准线性椭圆系统的弱解的存在性与正则性:\n$$-\mathrm{div}(A_k(x, u_k) |\nabla u_k|^{p_k - 2} \nabla u_k) + \dfrac{1}{p_k} D_s A_k(x, u_k) |\nabla u_k|^{p_k} = g_k(x, u) \quad \text{在 } \Omega, \quad u_k = 0 \quad \text{在 } \partial\Omega,$$\n其中 $k=1,\dots,d$, $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 为有界域，$N \geq 2$，$\boldsymbol{p} = (p_1, \dots, p_d)$，$p_k > 1$。利用非光滑临界点理论工具，我们证明了在 $W_0^{1,\boldsymbol{p}}(\Omega) \cap L^\infty(\Omega; \mathbb{R}^d)$ 中存在无数个弱解，其中 $W_0^{1,\boldsymbol p}(\Omega)=W_0^{1,p_1}(\Omega)\times\dots\times W_0^{1,p_d}(\Omega)$。