v-PuNNs：van der Put 神经网络用于透明超度量表示学习

传统深度学习模型在欧几里得空间 $\mathbb{R}^d$ 中嵌入数据，这不适用于严格层次化对象（如分类学、词义或文件系统）。我们引入 van der Put 神经网络（v-PuNNs），是第一个神经元为 $\mathbb{Z}_p$ 中 p 进制球的特征函数的网络。在我们的透明超度量表示学习（TURL）原则下，每个权重本身都是 p 进制数，从而提供精确的子树语义。新的有限层次近似定理表明，深度为 K 的 v-PuNN 以 $\sum_{j=0}^{K-1}p^{\,j}$ 个神经元普遍表示任意 K 层树。由于该离散空间中的梯度为零，我们提出 Valuation-Adaptive Perturbation Optimization（VAPO），包括快速确定性变体（HiPaN-DS）和基于矩的方法（HiPaN / Adam-VAPO）。在三个标准基准测试中，我们的 CPU-only 实现取得新纪录：WordNet 名词（52,427 个叶子）16 分钟内实现 99.96% 叶子精度；GO 生物功能 96.9% 叶子精度 / 100% 根精度，耗时 50 秒；NCBI 哺乳动物史匹尔相关系数 $\rho = -0.96$。所学得的度量完全为超度量（零三角形违规），并对其分形和信息论性质进行分析。除分类外，我们推导了用于量子系统的结构不变式（HiPaQ）和用于表格数据的可控生成编码（Tab-HiPaN）。因此，v-PuNNs 使数论与深度学习相结合，为层次化数据提供了解释性、高效且准确的模型。