$p$ 进制单调性与模 $p$ 不可能相交，II

我们研究特征为 $p$ 的普通 Abel 方案及其模数空间，从 char $p$ Mumford--Tate、log Ax--Lindemann 和几何 Andr\'e--Oort 共轃猜想（缩写为 $\MTT_p$, $\mathrm{logAL}_p$ 和 geoAO$_p$）的视角进行研究。在本文中，我们实现了多个目标：（\textbf{A}）建立蕴含 $\mathrm{MT}_p\Leftrightarrow \mathrm{logAL}_p \Rightarrow \mathrm{geoAO_p}$ 的链条，并表明它们都源自 Abel variety 的 Tate 猜想。利用 $\mathrm{MT}_p\Leftrightarrow \mathrm{logAL}_p$ 的等价性，从双方面出发，我们（\textbf{B}）通过首先通过经典技术手段建立许多 MT$_p$ 的情形，发展了针对 $\mathrm{logAL}_p$ 和 geoAO$_p$ 的表示论方法；（\textbf{C}）发展了超越经典方法局限的 $\MTT_p$ 的代数化方法。特别是，我们引入“晶体 Hodge 轨迹”，这是一类刚性分析几何对象，编码证明 $\mathrm{logAL}_p$ 所必需的关键信息，而通过（整数和相对）$p$ 进制 Hodge 理论可轻松处理。这使得我们能够证明具有 unramified $p$ 进制单调性的紧致 Tate 线性曲线满足 $\mathrm{logAL}_p$。作为应用，我们在 $p$ 进制 Mumford 类型下许多四维 Abel 形式上建立了 $\MTT_p$。