无权夹链谱 homology 为 $\mathsf{QMA}_1$-完整

判定给定图的 clique complex 在给定维数上是否存在非平凡 homology，在顶点-乘积加权和对组合 Hodge 拉普拉斯算子施加的逆多项式谱间隙承诺下，已知是 $\mathsf{QMA}_1$-hard 且包含在 $\mathsf{QMA}$ 中（King 和 Kohler, FOCS 2024）。顶点权重在已知证明中至关重要，其中提供了谱间隙分析所需的尺度分离。我们证明当每个顶点权重为一时，问题仍为 $\mathsf{QMA}_1^{g_2}$-hard 且包含在 $\mathsf{QMA}_1^{g_2}$ 中，其中 $\mathsf{QMA}_1^{g_2}$ 是使用通用门集合 $g_2=\{\mathsf{X},\mathsf{CX},\mathsf{CCX},H\otimes H\}$ 的 $\mathsf{QMA}_1$。该构造用扩张取代加权：每个加权复合体的顶点被膨胀为一个其大小编码其权重的 clique。块大小被选择以便对称平均再现加权 Hodge 度量。因此，对称子空间携带加权拉普拉斯算子，最多只放大一个公共标量因子，而局部平均论证给出对称子空间正交补的均匀下界。因此，在不引入额外低能态或伪 homology 的情况下，将加权 gap 分析转移到无权 clique complex 中。 $\mathsf{QMA}_1^{g_2}$ 的包含性源于 Rudolph 对稀疏整数 clique 拉普拉斯算子的精确线性组合 unitaries 模拟。该结果表明，gap 承诺而非顶点加权是 gapped clique homology 复杂度的来源。