喷子步行在高维中的扩散性

在维数为 $d\geq 2$ 的喷子步行（Lorentz mirror walk）中，镜像以稠密度 $p\in[0,1]$ 随机放置在 $\mathbb{Z}^d$ 的顶点上。随后从原点发射一束光线并通过空间中的各种镜像发生偏折。研究对象是由此方式获得的随机轨迹，亟需确定这些轨迹是局部化的（有限）还是去局部化的（无限）。据传说，对于 $d=2$，这些轨迹在任意稠密度 $p>0$ 下均为有限；而在维数 $d\geq 3$ 且 $p>0$ 较小的情况下，some 轨迹为无限。本文我们证明，对于所有维数 $d\geq 4$ 以及任意较小稠密度 $p$，轨迹在所有多项式时间尺度 $t\approx p^{-M}$（其中 $M>1$）下表现出扩散行为，特别是它们在此时间尺度下不会闭合。