通过谱隙证明 Gibbs 点过程的唯一性、解析性与混合性

Gibbs 点过程对连续统中通过势相互作用的粒子建模。最经典的例子之一是硬球模型:给定活动参数 $\lambda$、半径 $r$ 和有界集 $\Lambda \subset \mathbb{R}^d$,在 $\Lambda$ 中采样强度为 $\lambda$ 的 Poisson 过程,以点为 $r$-球堆积的中心为条件。我们证明了无限体积极测度的唯一性、压强的解析性,以及直至我们定义为势的谱阈值 $\lambda_{spec}$ 的活动下的各种空间与时间混合概念。对每个固定维数 $d \geq 2$,这改进了硬球模型的唯一性与解析性界。当 $d \to \infty$ 时,我们对经典界的改进呈指数增长。我们还证明了硬球模型热浴动力学的最优混合时间界,直至期望密度 $\Theta(d / 2^d)$,这是首个渐近匹配 Parisi 和 Zamponi 预测的快速混合最大密度的结果。我们还展示了排斥的径向对势,其 $\lambda_{spec} = + \infty$,表明相应 Gibbs 点过程在任何活动 $\lambda > 0$ 下无相变。进一步,在维数 $8$ 和 $24$ 中,我们展示此类无相变的势,其中 Cohn-Kumar-Miller-Radchenko-Viazovska 的工作证明在任何固定密度下的唯一基态分别由 $E_8$ 和 Leech 格给出。我们的工作建立在 Kondratiev-Kuna-Ohlerich 2013 年工作的基础上,该工作隐式定义了 $\lambda_{spec}$ 并证明了类 Glauber 连续统生灭动力学的谱隙。我们的主要工作表明此类谱隙蕴含若干强无相变概念,并分析了 $\lambda_{spec}$ 对有兴趣势的行为。