Fortuin--Kasteleyn平面图的自对偶点为临界点

我们研究参数$q\in (0,4)$下的Fortuin--Kasteleyn平面图模型，在其自对偶点及其附近进行研究。这一模型在平面三角网格上等价于完全填充(双色)环路-$O(n)$模型。这些模型传统上使用分析组合学技术(特别是Borot、Bouttier和Guitter的石屑分解)或概率论方法(基于Sheffield的汉堡-汉堡双曲线生物力学)进行研究。本文建立了两种方法中感兴趣量之间的字典关系。这有几个结果。首先，我们推导了完全填充(双色)环路-$O(n)$模型在三角网上的分区函数的精确表达式，作为外边界长度为函数。这确认了Gaudin和Kostov的预测。在 particular，这一模型表现出临界行为，即分区函数 exhibits 特征于该自对偶点的临界 regime 的幂律衰减。其次，我们推导了当$0 < q <4$时，Fortuin--Kasteleyn平面图的几何特征的精确渐近行为，如簇和环的周长的确切多项式尾部行为。这细化了arXiv:1502.00450和arXiv:1502.00546的先前结果。最后，我们证明Fortuin--Kasteleyn图在自对偶点发生\emph{锐利}相变，意味着在自对偶点之外，簇大小以指数衰减。这反映了Beffara和Duminil-Copin对固定晶格上$q\geq 1$的著名结果，构成首次证明Fortuin--Kasteleyn图自对偶点为临界点的结果。我们的证明的关键步骤是使用上述字典和概率结果来严格验证分析组合学文献中常用的假设。