双塔量子矩阵链乘法：以量子比特换取深度

矩阵链乘法——计算 $\mathcal{W} = M^{(0)}\cdots M^{(K-1)}$，其中 $M^{(k)} \in \mathbb{R}^{P_k \times P_{k+1}}$——出现在科学计算、机器学习和图分析中。尽管该问题很重要，但对于不同矩阵的链，经典运算次数随链长 $K$ 线性增长，并随矩阵维度多项式增长。我们提出了双塔矩阵乘法，一种量子子程序，它将 $K$ 个矩阵的乘积 $\mathcal{W}$ 编码到量子态中，电路深度为 $\mathcal{O}(\max_{k} \mathrm{polylog} (P_k P_{k+1}))$，在基于 QRAM 的状态制备模型中，该深度与 $K$ 无关，而量子比特数为 $\mathcal{O}\bigl(\sum_{k} \log P_k \bigr)$；总门数保持与 $K$ 线性相关，因此优势在于电路深度。该构造将状态制备算子交错分布在两层中；在每一层内，所有算子作用于不相交的寄存器并并行执行。该子程序可以专门用于链向量情形，即计算 $K-1$ 个矩阵作用于一个向量的乘积。我们证明了该子程序对所有 $K$ 的正确性，并提供了使用 Qiskit 和 QCLAB 框架的两种实现。该子程序适用于任何对编码在态矢量中的矩阵进行操作的下游量子算法，包括范数估计、图矩阵幂、线性系统求解和量子机器学习核。