网络投票模型动力学恢复的尖锐阈值

我们研究了从投票模型动力学轨迹中恢复潜在的有向 Erdős-Rényi 图 $G^*\sim \mathcal G(n,p)$ 的问题，其中 $np$ 随 $n$ 多项式增长。给定 $M$ 条独立的投票模型轨迹演化至时间 $T$ 的观察数据，我们证明只要满足 $$M \cdot \min\{T, n\} \geq C n^2 p^2 \log n$$ 为充分大的常数 $C$，则可通过一个"高效"算法以至少 0.9 的概率"精确"恢复 $G^*$。这里，$M\cdot \min\{T,n\}$ 可解释为观察到的有效更新轮数的近似值，因为在 $G^*$ 上的投票模型通常在 $\Theta(n)$ 轮后达到共识，此后无法获得进一步信息。此外，我们证明了一个"信息论"下界，表明上述条件在常数因子上是紧致的。我们的结果表明，该恢复问题不存在统计-计算鸿沟。