二维 Toda--Arnoldi 对应关系：Holomorphic Krylov 几何与反馈传输

虽然对一般非Hermitian Hamiltonian 的 Arnoldi 约化得到上 Hessenberg 矩阵而非 Hermitian Lanczos 理论的对角矩阵，但我们展示了其对角和副对角系数中存活着封闭的 Toda 部门。对于固定有限维 Hamiltonian 和循环状态向量经 holomorphically 变形，Krylov 格拉姆行列式是二维有限 Toda 格子的 $\tau$ 函数，其 Flaschka 变量恰好与这些 Arnoldi 系数一致。因此，Toda 动力学在该部门上闭合而不决定剩余的上 Hessenberg 条目。该部门的副对角部分也具有直接几何意义：平方副对角系数决定了 holomorphically Krylov 子空间的 Fubini--Study 度量和 Berry 曲率，而在 Arnoldi breakdown 中丢失的子空间的几何量不再被定义。在循环区域中的平滑实路径上，Arnoldi 框架的连接进一步提供了 exact isospectral transport 的 Hermitian 对角生成器。当该生成器添加到 Arnoldi 矩阵时，它取消了瞬时本征空间之间的转换，实现对可对角化且特征值非退化矩阵的 counterdiabatic driving。