MEMS模型的非径向熄灭剖面

我们构造了抛物型MEMS模型的熄灭解 $$u_t = \Delta u - \frac{1}{u^2} \quad \text{在 } \mathcal{B} \times (0,T), \quad u|_{\partial \mathcal{B}} = 1,$$其中$\mathcal{B}$为$\mathbb{R}^2$中的单位圆，$T>0$为熄灭时间。构造的解仅在原点熄灭，最终轮廓为 $$u(x,T) \sim \left(x_1^2 x_2^2 + \theta(x_1^6 + x_2^6)\right)^{\frac{1}{3}} \quad \text{当 } |x| \to 0 \text{ 时},$$其中$\theta \in (0, \theta^*)$且$\theta^* > 0$。据我们了解，这是第一个具有真正非径向轮廓的熄灭解。证明依赖于构建良好近似解，通过自相似变量中的扰动展开实现。随后通过谱分析结合稳健能量方法论证保持接近该近似的真实解。