试错数学:辩证系统与理论完备化

本文是一个基于 Magari 为刻画试错数学而引入的辩证系统概念的项目的一部分。在先前工作中，我们研究了辩证系统的表达与计算能力，并将其与一类新系统即拟辩证系统相比较，后者以自然的修正机制丰富了 Magari 的系统。在本文中，我们考虑第三类系统，即 $p$-辩证系统，它自然地结合了前两类系统的特征。我们证明了关于 $p$-辩证系统及其所表示集合的若干结果。随后我们聚焦于一元理论的完备化。在此过程中，我们考虑带联结词的系统，即编码了经典逻辑规则的系统。我们表明任何一致带联结词系统都表示给定理论的完备化。我们证明辩证系统与 $q$-辩证系统在它们所能表示的完备化方面重合。然而，$p$-辩证系统更为强大:我们给出一个表示皮亚诺算术(Peano Arithmetic)完备化的 $p$-辩证系统，它既非辩证的也非 $q$-辩证的。