漂移拉普拉斯算子的梯度估计与刘维尔性质

本文讨论了漂移拉普拉斯算子的刘维尔性质的有效性，即 $\Delta_{X}u=0$ 的正解——$X$-调和函数，其中 $X$ 是完备非紧黎曼流形上的向量场，$\Delta_{X}$ 为漂移拉普拉斯算子。特别地，我们证明了当 $X$-Bakry-Émery-Ricci 曲率 $\mathrm{Ric}_{X}$ 非负且 $X$ 的范数在无穷远处衰减至零时，该流形对 $X$-拉普拉斯算子具有刘维尔性质。该证明利用了对半线性方程 $\Delta_{X}u+F(u)=0$ 正解的局部梯度估计，该估计在 $F$ 满足结构条件 $tF'(t)-F(t)\le\alpha$ 且 $|F(t)|\le\beta t$，且流形满足 $\mathrm{Ric}_{X}\ge-(n-1)K$ 时成立。