基于量子论证的高阶泛函极小极大估计

我们从量子计算的角度提出了一种新颖的高阶泛函极小极大估计方法。具体而言,对于任意实数$\alpha \gg 1$,我们提出了两种估计器,一种用于离散分布$P$的经典泛函$\mathrm{F}_\alpha(P) = \sum_{i=1}^S p_i^\alpha$,另一种用于混合态$\rho$的量子泛函$\mathrm{F}_\alpha(\rho) = \operatorname{tr}(\rho^\alpha)$。这些泛函与Rényi熵和Tsallis熵密切相关。我们证明,在$\alpha \lesssim \mathsf{n} \lesssim \alpha^{3-o(1)}$范围内,两种估计器均达到极小极大最优的$L_2$速率$\alpha \mathsf{n}^{-1}$,其中$P$的支撑大小$S$或$\rho$的维度可以远大于样本数$\mathsf{n}$。因此,两种估计器都实现了\textit{最优}样本复杂度$\mathsf{n} \asymp \alpha$,改进了先前由Jiao、Venkat、Han和Weissman(IEEE Trans. Inf. Theory 2017)针对经典泛函以及Chen和Wang(COLT 2025)针对量子泛函建立的最佳上界$O(\alpha^2)$。我们的估计器是在使用量子原语的统一框架下构建的,并在量子计算机上以线性时间运行。这项工作揭示了从量子计算到统计学的意外路径,提出了一种概念上全新的泛函估计方法论。它为日益增长的经典定理的量子证明列表增添了新内容。