纠缠态集合的拓扑

我们研究了作用于$\mathbb{C}^{n_1}\otimes\mathbb{C}^{n_2}$上的纠缠双部分密度算子集合$\mathsf E$的拓扑。我们首先证明$\mathsf E$是路径连通的，并且除了双qubit情形外，甚至是单连通的。在这种特殊情形下，$\mathsf E$被证明与最大纠缠态集合同伦等价，而后者本身与$\mathbb{RP}^3$同胚。在这里，我们还计算了$\mathsf E$的闭包和内部的完整同调。在所有更大的维度中，我们证明了$\mathsf E$的同调和同伦群在度数$1\leq k\leq 2(n_1-1)(n_2-1)-2$上消失，并且度数$k\geq (n_1n_2)^2-3$的所有同调群也消失。这个范围由纠缠见证空间$\mathsf W$控制，我们证明它在两qubit之外是高度连通的，并且与$\mathsf E$同伦等价。通过计算欧拉示性数，使用环面作用不动点论证结合Alexander对偶性，我们证明$\mathsf E$对于所有$n_1, n_2 \geq 2$，在任何域上仍然具有非平凡的约化同调。