核岭回归与核 $k$-均值聚类的紧核查询复杂度

我们给出了在 $n$ 个输入点上近似求解核岭回归（KRR）与核 $k$-均值聚类（KKMC）所需核评估次数的紧下界。对于 KRR，我们对目标函数最小化量的相对误差近似的下界为 $\Omega(nd_{\mathrm{eff}}^\lambda/\varepsilon)$，其中 $d_{\mathrm{eff}}^\lambda$ 为有效统计维数，该下界在 $\log(d_{\mathrm{eff}}^\lambda/\varepsilon)$ 因子内是紧的。对于 KKMC，我们对寻找达到目标函数相对误差近似的 $k$-聚类的下界为 $\Omega(nk/\varepsilon)$，该下界在 $\log(k/\varepsilon)$ 因子内是紧的。我们的 KRR 结果解决了 El Alaoui 与 Mahoney 一个开放问题的变体，即有效统计维数是否为采样复杂度的下界。此外，对于输入为高斯混合这一重要实际情况，我们提供了一种绕过上述下界的 KKMC 算法。